小数的乘法与除法
数学本质。 小数乘除与整数乘除具有一致性，核心是计数单位和等值转化。乘法通过按10的幂扩大为整数计算，再按相同数量级缩小；除法通过商不变性质把除数化为整数。小数点位置不是机械移动，而是对计数单位变化的记录。估算、积商大小关系和逆运算是判断结果合理性的结构性工具。
1. 单元基本信息§
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 册次、序号 | 五年级上册，第1单元 |
| 教学内容 | 1 小数乘整数；2 小数乘小数；3 整数的乘法运算律推广到小数；小练习（1）；4 除数是整数的小数除法；小练习（2）；5 除数是小数的除法；6 商的近似数；小练习（3） |
| 课程领域 | 数与代数—数与运算、数量关系 |
| 资料位置 | 教材上册第1—23页；Excel“五年级上册”第1单元，建议15课时 |
2. 单元内容框架与内在逻辑§
- 小数乘整数（第1—2页）：借助单价、长度等情境把小数乘整数转化为整数乘法；根据乘数的小数位数确定积的小数点；处理末尾0和积小于1的情况。
- 小数乘小数（第3—5页）：以面积、长度单位和乘数变化规律解释“先按整数乘，再按两个乘数小数位数之和定位”；用乘数大于1、小于1判断积与原数的大小关系。
- 运算律推广（第6—7页）：验证整数乘法交换律、结合律、分配律对小数仍成立，并用于小数混合运算和简算；小练习（1）综合乘法算理、估算与应用。
- 除数是整数的小数除法（第8—13页）：从平均分、钱数和单位换算引出竖式；商的小数点与被除数小数点对齐；整数部分不够商1时写0；余数后添0继续除；小练习（2）巩固多种商形态。
- 除数是小数的除法（第14—19页）：依据商不变性质同时移动被除数和除数的小数点，把除数转化为整数；必要时在被除数末尾补0；判断除数大于或小于1时商的变化，并结合余数、估算解释现实结果。
- 商的近似数（第20—23页）：根据精度要求多算一位并四舍五入，使用计算器检验，辨析9.0与9所表示精确程度的差异；小练习（3）及“理一理”整理乘除转化链。
数学本质。 小数乘除与整数乘除具有一致性，核心是计数单位和等值转化。乘法通过按10的幂扩大为整数计算，再按相同数量级缩小；除法通过商不变性质把除数化为整数。小数点位置不是机械移动，而是对计数单位变化的记录。估算、积商大小关系和逆运算是判断结果合理性的结构性工具。
3. 知识学习进阶与基础目标§
| 维度 | 分析 |
|---|---|
| 已有基础 | 整数乘除法、小数意义和性质、整数运算律、商不变性质、简单小数加减法。 |
| 新认识 | 完整的小数乘除算法、算法依据、积商变化判断、商的近似数及现实解释。 |
| 内部递进 | 小数×整数→小数×小数→运算律推广→小数÷整数→小数÷小数→近似与综合应用。 |
| 后续基础 | 支撑平均数、汇率和费用、图形面积、下册分数小数互化与总复习。 |
基础目标
- 理解小数乘整数、小数乘小数的算理，会正确进行竖式计算并规范处理积中的0。
- 能解释积的小数位数与两个乘数小数位数的关系，能用估算和积的大小关系检验结果。
- 理解整数乘法运算律对小数同样适用，会选择合适的运算律进行简便计算。
- 会计算除数是整数或小数的小数除法，能说明商的小数点定位、补0和转化除数的依据。
- 会按指定精度求商的近似数，能区分精确值、近似值以及不同精确程度。
- 能用小数乘除解决单价、速度、面积、平均分、包装等问题，并解释进一、去尾或余数的实际意义。
4. 核心素养目标§
| 具体内容或活动 | 主要素养 | 可观察的学生表现 | 与基础目标的关系 |
|---|---|---|---|
| 单位换算、面积图和整数化转化 | 数感、量感、几何直观 | 能用单位或图示解释为什么积有相应小数位，而不是只背规则 | 使竖式技能建立在计数单位意义上 |
| 积、商与原数大小比较 | 数感、推理意识 | 不计算即可依据乘数或除数与1的关系判断大致范围 | 为估算和错误诊断提供依据 |
| 商不变性质转化除数 | 符号意识、运算能力、推理意识 | 能写出等值转化过程并说明被除数与除数必须同时变化 | 支撑除数是小数的算法 |
| 不同算法和简便运算 | 运算能力、创新意识 | 能比较竖式、口算、拆分、运算律等方法的适用性 | 从“会算”发展到“合理选算” |
| 近似数和现实取值 | 模型意识、应用意识 | 能依据“最多”“至少”“保留几位”等要求解释取值方式 | 把计算结果转化为可执行决策 |
5. 重点、难点、教学支持与学生问题§
| 项目 | 分析与针对性支持 |
|---|---|
| 教学重点 | 小数乘除法算理、竖式规范、除数小数转化、估算检验和近似处理。 |
| 学习难点 | 积的小数位数、被除数整数部分小于除数时商0、转化后被除数位数不足补0、余数数位和近似精度。 |
| 形成原因 | 学生容易把小数点规则与位值意义割裂；整数算法中的“余数”迁移到小数时数位发生变化。 |
| 教学支持 | 同步使用整数算式与小数算式、单位换算表和数位表；竖式旁标出扩大或缩小倍数；计算前先估范围，计算后用逆运算或计算器检验。 |
典型活动可包括：用0.1平方米方格解释2.8×1.6；比较3.6×0.5与3.6、3.6÷0.5与3.6；把4.2÷0.35转化为420÷35并说明等值性；在“装罐”和“截丝带”情境中决定进一或去尾。常见错误有小数位数相减、只移动除数小数点、商的小数点与除数对齐、余数把0.6误写为6、把近似商继续当作精确值参与推理。应让学生用范围估计和单位意义复核，不只订正答案。
6. 评价建议与课标对应§
- 基础技能：完成代表不同结构的小数乘除竖式，并用估算标出合理结果区间。
- 数学理解：解释0.48×2.5为何可转化为48×25，以及7.2÷0.24为何可转化为720÷24。
- 问题解决任务：12.5千克面粉每罐装0.2千克，至少需要多少罐；150米丝带每个礼盒用3.5米，最多包多少个。要求写出取值理由。
- 素养评价：关注转化依据、范围判断、方法选择、单位和现实解释，不只评价计算正确率。
- 课标对应：课标原文要点为“能进行简单的小数四则运算和混合运算，感悟运算的一致性”，并能在真实情境中选择恰当方法解决问题（课标渲染页29—31）。本单元把该要求具体化为小数乘除、运算律迁移和近似处理（分析判断）。